等差數(shù)列求和公式及推導方法

等差數(shù)列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)的一種數(shù)列，常用A、P表示。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。前n項和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

等差數(shù)列公式

1.定義式

2.通項公式

3.求和公式

4.前n項和公式

等差數(shù)列推論

（1）從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。

（2）從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數(shù)列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2*a(p)。

證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)；p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

（4）其他推論：

①和=（首項+末項）×項數(shù)÷2；

②項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1；

③首項=2x和÷項數(shù)-末項或末項-公差×（項數(shù)-1）；

④末項=2x和÷項數(shù)-首項；

⑤末項=首項+（項數(shù)-1）×公差；

⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。

數(shù)列求和方法

1、公式法

2、錯位相減法

3、倒序相加法

4、分組法

5、裂項相消法

6、數(shù)學歸納法

7、通項化歸法

先將通項公式進行化簡，再進行求和。

如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。

8、并項求和法

（常采用先試探后求和的方法）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并項）

求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。

方法二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：

構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復合。

an=n(-1)^（n+1）

9、求和公式