二元一次方程的定義和二元一次方程組的解

一、二元一次方程的定義和二元一次方程組的解

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。

例如：$x+y=5$是二元一次方程。

2、二元一次方程的解

（1）二元一次方程的解的定義

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程的解的個(gè)數(shù)

一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，如方程$x+y=18$的解可以是$\begin{cases}x=1,\\y=17,\end{cases}$$\begin{cases}x=2,\\y=16,\end{cases}$$\begin{cases}x=10,\\y=8\end{cases}$等。

（3）二元一次方程的解的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程的解時(shí)，可將這組數(shù)代入到方程中，若這組數(shù)滿足該方程（即使方程左右兩邊相等），就說這組數(shù)是該二元一次方程的解，否則，不是該二元一次方程的解。

3、二元一次方程組

（1）二元一次方程組的定義

有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。其一般形式是$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1,\\a_2x+b_2y=c_2,\end{cases}$其中$a_1$，$a_2$不同時(shí)為0，$b_1$，$b_2$不同時(shí)為0。

（2）二元一次方程組的解

①一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元—次方程組的解。

②二元一次方程組的解的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解時(shí)，可將這組數(shù)代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這組數(shù)滿足其中所有的方程時(shí)，才能說這組數(shù)是此方程組的解。

③書寫方程組的解時(shí)，必須用“{”把各個(gè)未知數(shù)的值連接在一起，即寫成$\begin{cases}x=a,\\y=b\end{cases}$的形式。

④二元一次方程組$\begin{cases}Ax+By+C=0,\\Dx+Ey+F=0\end{cases}$解的情況

當(dāng)$\frac{A}{D}≠\frac{B}{E}$時(shí)，方程組有比較好一組解；

當(dāng)$\frac{A}{D}=\frac{B}{E}=\frac{C}{F}$時(shí)，方程組有無數(shù)組解；

當(dāng)$\frac{A}{D}=\frac{B}{E}≠\frac{C}{F}$時(shí)，方程組無解。

4、解二元一次方程組

（1）消元思想

二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程。我們可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想。

（2）代入消元法

① 定義

把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

② 步驟

變：將其中一個(gè)方程變形，使一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示。

代：用這個(gè)代數(shù)式代替另一個(gè)方程中的相應(yīng)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。

解：解這個(gè)一元一次方程。

求：把求得的未知數(shù)的值代入代數(shù)式或原方程組中的任意一個(gè)方程中，求得另一個(gè)未知數(shù)的值。

寫：寫出方程組的解。

（3）加減消元法

①定義

當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

②步驟

化：將方程組中的方程化為有一個(gè)未知數(shù)系數(shù)的***值相等的形式。

加減：根據(jù)其系數(shù)特點(diǎn)將變形后的兩個(gè)方程相加或相減，得到一元一次方程。

解：解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值。

代：把求得的一個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。

寫：把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用花括號(hào)聯(lián)立起來，這樣就得到二元一次方程組的解。

（4）整體消元法

根據(jù)方程組中各系數(shù)的特點(diǎn)，可將方程組中的一個(gè)方程或方程的一部分看成一個(gè)整體，代入另一個(gè)方程中，從而達(dá)到消去其中一個(gè)未知數(shù)的目的，求得方程組的解。

5、三元一次方程組

（1）三元一次方程組

含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。如$\begin{cases}x-2y+z=9,\\2x+y+3z=10,\\3x+2y-4z=-3\end{cases}$是三元一次方程組。

（2）解三元一次方程組的基本思路

通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，將“三元”化為“二元”，從而使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。

二、二元一次方程的相關(guān)例題

設(shè)實(shí)數(shù)$x$，$y$滿足方程組$\begin{cases}\frac{1}{3}x-y=4,\\frac{1}{3}x+y=2,\end{cases}$則$x+y=$___

A．5 B．6 C．7 D．8

答案：D

解析：$\begin{cases}\frac{1}{3}x-y=4,①\\frac{1}{3}x+y=2,②\end{cases}$①+②，得$\frac{2}{3}x=6$，解得$x=9$。把$x=9$代入①，得$y=-1$。∴$x+y=8$。故選D。

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