一元二次方程根的分布和判別式的應(yīng)用

一、一元二次方程根的分布和判別式的應(yīng)用

1、一元二次方程的根

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系數(shù)時(shí)，只需將方程的根代入原方程，再解關(guān)于待定系數(shù)的方程。

2、一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的分布

一般地，式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的根的判別式，通常用希臘字母$\mathit{Δ}$表示，即$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。

（1）當(dāng)$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$時(shí)，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

（2）當(dāng)$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac=0$時(shí)，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即$x_1=x_2=-\frac{2a}$。

（3）當(dāng)$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac<0$時(shí)，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$無實(shí)數(shù)根。

3、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

一元二次方程根的判別式的應(yīng)用主要有以下三種情況：

不解方程，由根的判別式的正負(fù)性及是否為0可直接判定根的情況。

根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的取值范圍。

應(yīng)用判別式證明方程根的情況（有實(shí)根、無實(shí)根、有兩個(gè)不相等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根）。

4、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

當(dāng)$b^2-4ac\geqslant 0$時(shí)，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$x_1$，$x_2$，且滿足求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，則有$x_1+$$x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$-\frac{a}$，$x_1x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。

即$x_1$，$x_2$滿足$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。

二、一元二次方程根的分布的相關(guān)例題

已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$x_1·x_2$等于___

A．$-4$ B．$-1$ C．1 D．4

答案：C

解析：直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解得$x_1·x_2=$$\frac{c}{a}=1$。

文章標(biāo)題：一元二次方程根的分布和判別式的應(yīng)用

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