一元二次方程的定義和一般形式

一、一元二次方程的定義和一般形式

1、一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元）。并且未知數(shù)的***次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$。其中$ax^2$是二次項，$a$是二次項系數(shù)；$bx$是一次項，$b$是一次項系數(shù)；$c$是常數(shù)項。

對于方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$，只有當$a≠0$時才是一元二次方程。反過來，如果說$ax^2+$$bx+$$c=$$0$是一元二次方程，則必須含著$a≠0$這個條件。

3、一元二次方程的根

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系數(shù)時，只需將方程的根代入原方程，再解關于待定系數(shù)的方程。

4、解一元二次方程

（1）直接開平方法

我們知道如果$x^2=25$，則$x=±\sqrt{25}$，即$x=±5$，像這種利用平方根的定義通過直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。一般地，對于方程$x^2=p$，

① 當$p>0$時，方程有兩個不等的實數(shù)根$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$。

② 當$p=0$時，方程有兩個相等的實數(shù)根$x_1=x_2=0$。

③ 當$p<0$時，因為對任意實數(shù)$x$，都有$x^2\geqslant0$，所以方程無實數(shù)根。

（2）配方法

通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是以配方為手段，以直接開平方法為基礎的一種解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

① 化二次項系數(shù)為1。

② 移項：使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項。

③ 配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，原方程變?yōu)?(x+n)^2=p$的形式。

④ 直接開平方：如果右邊是非負數(shù)，就可用直接開平方法求出方程的解。

（3）公式法

① 公式法的定義

解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$。當$b^2-4ac\geqslant0$時，方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的實數(shù)根可寫為$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，這個式子叫做一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根。

② 一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關系

一般地，式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的根的判別式，通常用希臘字母$\mathit{Δ}$表示，即$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。

當$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$時，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個不相等的實數(shù)根。即$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

當$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac=0$時，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個相等的實數(shù)根。即$x_1=x_2=-\frac{2a}$。

當$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac<0$時，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$無實數(shù)根。

③ 利用公式法解一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的一般步驟：

將一元二次方程整理成一般形式。

確定公式中$a$，$b$，$c$的值。

求出$b^2-4ac$的值。

當$b^2-4ac\geqslant 0$時，將$a$，$b$，$c$的值及$b^2-4ac$的值代入求根公式即可；當$b^2-4ac<0$時，方程無實數(shù)根。

④ 一元二次方程根的判別式的應用

一元二次方程根的判別式的應用主要有以下三種情況：

不解方程，由根的判別式的正負性及是否為0可直接判定根的情況。

根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的取值范圍。

應用判別式證明方程根的情況（有實根、無實根、有兩個不相等實根、有兩個相等實根）。

（4）因式分解法

① 因式分解法的定義

將一元二次方程先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

② 用因式分解法解一元二次方程的一般步驟

移項——將方程的右邊化為0。

化積——將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積。

轉(zhuǎn)化——令每個一次式分別為零，得到兩個一元一次方程。

求解——解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

5、一元二次方程的根與系數(shù)的關系

當$b^2-4ac\geqslant 0$時，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有兩個實數(shù)根$x_1$，$x_2$，且滿足求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，則有$x_1+$$x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$-\frac{a}$，$x_1x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。

即$x_1$，$x_2$滿足$x_1+x_2=-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。

二、一元二次方程的相關例題

用配方法解方程$x^2-2x-1=0$時，配方后所得的方程為___

A．$(x+1)^2=0$

B．$(x-1)^2=0$

C．$(x+1)^2=2$

D．$(x-1)^2=2$

答案：D

解析：$x^2-2x-1=0$，移項得$x^2-2x=1$。配方得$x^2-$$2x+$$1^2=$$1+$$1^2$，即$(x-1)^2=2$。

文章標題：一元二次方程的定義和一般形式

本文地址：http://balticsea-crewing.com/show-356205.html

本文由合作方發(fā)布，不代表中職學校招生網(wǎng)_55px.com.cn立場，轉(zhuǎn)載聯(lián)系作者并注明出處：中職學校招生網(wǎng)_55px.com.cn