圓冪定理和點(diǎn)對圓的冪

一、圓冪定理和點(diǎn)對圓的冪

1、圓冪定理

圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理及割線定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納。

（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

（2）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

（3）割線定理：從圓外一點(diǎn)$P$引兩條割線與圓分別交于$A$、$B$；$C$、$D$，則有$PA·PB=$$PC·PD$。

從上述定理可以看出，兩條線的位置從內(nèi)到外，都有著相似的結(jié)論。經(jīng)過總結(jié)和歸納，便得出了圓冪定理。

2、點(diǎn)對圓的冪

（1）$P$點(diǎn)對圓$O$的冪定義為$OP^2-R^2$（$R$為圓的半徑）。

（2）性質(zhì)

點(diǎn)$P$對圓$O$的冪的值和點(diǎn)$P$與圓$O$的位置關(guān)系有下述關(guān)系：

點(diǎn)$P$在圓$O$內(nèi)→$P$對圓$O$的冪為負(fù)數(shù)；

點(diǎn)$P$在圓$O$外→$P$對圓$O$的冪為正數(shù)；

點(diǎn)$P$在圓$O$上→$P$對圓$O$的冪為0。

以上關(guān)系除正向應(yīng)用通過點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)對圓的冪的符號，還可以逆向應(yīng)用，通過點(diǎn)對圓的冪的符號反推點(diǎn)和圓的位置關(guān)系。

有時，點(diǎn)$P$對圓$O$的冪表示為$|OP^2-R^2|$，但通常來說，冪是有正負(fù)零之分的。

二、圓冪定理的相關(guān)例題

在梯形$ABCD$中，$AB∥CD$，$⊙O$為內(nèi)切圓，$E$為$AD$邊上的切點(diǎn)，若$AO=$8 cm，$DO=$6cm，則$OE$的長為___

A．3.2 B．4.3 C．4.8 D．5.2

答案：C

解析：∵$AB∥CD$，∴$∠BAD+∠ADC=$180。∵$⊙O$內(nèi)切于梯形$ABCD$，∴$AO$平分$∠BAD$，有$∠DAO=\frac{1}{2}∠BAD$，又$DO$平分$∠ADC$，有$∠ADO=\frac{1}{2}∠ADC$。∴$∠DAO+∠ADO=$$\frac{1}{2}(∠BAD+∠ADC)=$90°，∴$∠AOD=$$180°-$$(∠DAO+∠ADO)$= 90°?！咴赗t$△AOD$中，$AO=$8 cm，$DO=$6 cm，∴由勾股定理，得$\sqrt{AO^2+DO^2}=$10 cm。∵$E$為切點(diǎn)，∴$OE⊥AD$，有$∠AEO=$90°，∴$∠AEO=∠AOD$。又$∠OAD$為公共角，∴$△AEO∽△AOD$?！?\frac{OE}{OD}=\frac{AO}{AD}$，∴$OE=\frac{AO·OD}{AD}=4.8$ cm。

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