【分析】反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系:反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的定義域和定義域；函數(shù)的反函數(shù)本身就是函數(shù)；偶函數(shù)必須沒有反函數(shù)；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

原始功能是什么？

眾所周知，函數(shù)f(x)是在一定區(qū)間內(nèi)定義的函數(shù)。如果有一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使得在這個(gè)區(qū)間的任意一點(diǎn)都有dF(x)=f(x)dx，那么函數(shù)F(x)就叫做這個(gè)區(qū)間中函數(shù)F(x)的原函數(shù)。

比如sinx就是cosx的原函數(shù)。

什么是反函數(shù)？

一般來說，讓函數(shù)y=f(x)(x∈A)的范圍為c，如果我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)g(y)處處等于x，這樣的函數(shù)x = g(y) (y ∈ c)稱為函數(shù)y = f (x) (x ∈ c)反函數(shù)y = f-1 (x)的定義域和定義域分別是函數(shù)y=f(x)的定義域和定義域。最具代表性的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。

一般來說，如果x和y對(duì)應(yīng)某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f(x)和y=f(x)，那么y=f(x)的反函數(shù)就是x=f(y)或y = f-1 (x)。反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù))存在的條件是原函數(shù)必須一一對(duì)應(yīng)(不一定在整個(gè)數(shù)域內(nèi))。注:上標(biāo)“1”指的是函數(shù)冪，而不是指數(shù)冪。

反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

①函數(shù)的反函數(shù)本身就是函數(shù)。根據(jù)反函數(shù)的定義，原函數(shù)也是其反函數(shù)的反函數(shù)，所以原函數(shù)和反函數(shù)的反函數(shù)相互稱為反函數(shù)。

②反函數(shù)的定義域和定義域分別是原函數(shù)的定義域和定義域。

③只有確定函數(shù)的映射是一對(duì)一映射時(shí)，才有反函數(shù)，可以畫出以下四點(diǎn):

④偶函數(shù)必須沒有反函數(shù)。

⑤單調(diào)函數(shù)必須有反函數(shù)。

⑥如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

⑦原函數(shù)及其反函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的單調(diào)性。

⑧反函數(shù)圖像之間的關(guān)系。

函數(shù)y=f(x)的像及其反函數(shù)y=f-1(x)的像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，理解這種關(guān)系應(yīng)注意以下三點(diǎn):

I)函數(shù)y=f(x)和y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，這個(gè)結(jié)論是在坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)為X軸，縱坐標(biāo)為Y軸，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度一致的前提下得出的；

Ii)圖像上的(a，b)y = f(x)< = >(b，a)圖像上的y = f-1(x)；

Iii)如果y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x)，那么函數(shù)y = f (x)的像關(guān)于直線y=f(x是f (x) = f-1 (x)對(duì)稱的充要條件，即原函數(shù)和反函數(shù)的解析表達(dá)式相同。