空間向量的坐標(biāo)和運算

一、空間向量的坐標(biāo)和運算

1、空間直角坐標(biāo)系

在單位正方體$OABC$-$D$′$A$′$B$′$C$′中，以$O$點為原點，分別以射線$OA$，$OC$，$OD$′的方向為正方向，以線段$OA$，$OC$，$OD$′的長為單位長，建立三條數(shù)軸：$x$軸、$y$軸、$z$軸。這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系$Oxyz$，其中點$O$叫做坐標(biāo)原點，$x$軸、$y$軸、$z$軸叫做坐標(biāo)軸。通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為$xOy$平面、$yOz$平面、$xOz$平面。

2、空間向量的坐標(biāo)

一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。

如$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，則$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。

3、空間向量的坐標(biāo)運算

設(shè)$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，則

（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5）$λ\boldsymbol a=（λx_1,λy_1,λz_1）$。

4、空間向量平行（共線）與垂直的充要條件

設(shè)非零向量$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，則

$\boldsymbol a∥\boldsymbol b\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{R})$。

$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b\Leftrightarrow\boldsymbol a·\boldsymbol b =0\Leftrightarrow$ $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。

5、空間中的中點坐標(biāo)公式、夾角和距離公式

（1）中點坐標(biāo)公式

在空間直角坐標(biāo)系中，若$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$P$為$AB$的中點，則點$P$的坐標(biāo)為$\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2} \right)$。

（2）夾角公式

設(shè)非零向量$\boldsymbol a=（a_1,a_2,a_3）$，$\boldsymbol b(b_1,b_2,b_3)$，則$ \cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$。

（3）距離公式

在空間直角坐標(biāo)系中，已知$A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$，則$\left| \overrightarrow{A B}\right|$=$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。

6、空間中點的對稱

（1）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于平面$xOy$的對稱點為$P_1(x,y,-z)$。

（2）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于平面$yOz$的對稱點為$P_1(-x,y,z)$。

（3）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于平面$xOz$的對稱點為$P_1(x,-y,z)$。

（4）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于$x$軸的對稱點為$P_1(x,-y,-z)$。

（5）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于$y$軸的對稱點為$P_1(-x,y,-z)$。

（6）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于$z$軸的對稱點為$P_1(-x,-y,z)$。

（7）$P$（$x$，$y$，$z$）關(guān)于坐標(biāo)原點$O$的對稱點為$P_1(-x,-y,-z)$。

空間對稱問題的記法為：關(guān)于誰對稱，誰的坐標(biāo)不變，其他坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于原點對稱，所有坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。

二、空間直角坐標(biāo)系

下列敘述中，正確的個數(shù)是___

①空間直角坐標(biāo)系中，在$x$軸上的點的坐標(biāo)可寫成$(0，b，c)$的形式;

②空間直角坐標(biāo)系中，在$yOz$平面內(nèi)的點的坐標(biāo)可寫成$(0，b，c)$的形式:

③空間直角坐標(biāo)系中，在$z$軸上的點的坐標(biāo)可寫成$(0 ，0， c)$的形式;

④空間直角坐標(biāo)系中，在$xOz$平面內(nèi)的點的坐標(biāo)可寫成$(a ，0， c)$的形式.

A．1 B．2 C．3

答案：C

解析：①空間直角坐標(biāo)系中,在$x$軸上的點的坐標(biāo)可寫成$(a，0，0)$的形式，故①錯誤；②空間直角坐標(biāo)系中,在$yOz$平面內(nèi)的點的坐標(biāo)可寫成$(0，b，c)$的形式；故②正確；③空間直角坐標(biāo)系中,在$z$軸上的點的坐標(biāo)可寫成$(0，0，c)$的形式，故③正確；④空間直角坐標(biāo)系中，在$xOz$平面內(nèi)的點的坐標(biāo)可寫成$(a，0，c)$的形式，故④正確。故選C。

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