柯西不等式的定理和應(yīng)用技巧

一、柯西不等式的定理和應(yīng)用技巧

1、二維形式的柯西不等式

定理1：（二維形式的柯西不等式）若$a,b,c,d$都是實(shí)數(shù)，則$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，$ad=bc$時(shí)等號(hào)成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)$\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta$是兩個(gè)向量，則$|\boldsymbol \alpha·\boldsymbol \beta|≤|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|$，當(dāng)且僅當(dāng)$\boldsymbol \beta$是零向量，或存在實(shí)數(shù)$k$，使$\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta$時(shí)，等號(hào)成立。

定理3：（二維形式的三角不等式）設(shè)$x_1,y_1,x_2,y_2\in \mathbf{R}$，那么$\sqrt{x^2_1+y^2_1}+\sqrt{x^2_2+y^2_2}$$\geqslant$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

在定理3中，用$x_1-x_3$代$x_1$，用$y_1-y_3$代$y_1$，用$x_2-x_3$代$x_2$，用$y_2-y_3$代$y_2$可得平面三角不等式：$\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$+$\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$≥$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

2、一般形式的柯西不等式

定理：（一般形式的柯西不等式）設(shè)$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n$是實(shí)數(shù)，則$(a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n)(b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n)$≥$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$，當(dāng)且僅當(dāng)$b_i=0(i=1,2,\cdots,n)$或存在一個(gè)數(shù)$k$，使得$a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)$時(shí)，等號(hào)成立。

3、柯西不等式的應(yīng)用技巧

柯西不等式的主要應(yīng)用是證明不等式和求最值，利用柯西不等式證明不等式時(shí)，先使用拆項(xiàng)、重組、填項(xiàng)等方法技巧構(gòu)造符合柯西不等式的應(yīng)用條件，再處理；利用柯西不等式求最值時(shí)，一定要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件。

構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以巧拆常數(shù)，可以重新安排各項(xiàng)的次序，可以填項(xiàng)，也可以改變式子的結(jié)構(gòu)。

二、柯西不等式的相關(guān)例題

設(shè)$a,b,m,n∈\mathbf{R}$,且$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，則$\sqrt{m^2+n^2}$的最小值為_(kāi)__

A．$\sqrt{5}$ B．$\sqrt{6}$ C．$\sqrt{3}$ D．2$\sqrt{2}$

答案：A

解析：因?yàn)?a^2+b^2=5,ma+nb=5$，所以由柯西不等式得$(a^2+b^2)(m^2 +n^2)≥( ma +nb)^2$，于是$5(m^2 +n^2)≥5^2$，故$\sqrt{m^2+n^2}≥\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\begin{cases}\frac{a}{m}=\frac{n},\\a^2+b^2=5,\\ma+nb=5,\\m^2+n^2=5\end{cases}$$\Leftrightarrow a=m,n=b$時(shí),等號(hào)成立，所以$\sqrt{m^2+n^2}$的最小值為$\sqrt{5}$。

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