二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)式系數(shù)和

一、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)式系數(shù)和

1、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

二項(xiàng)展開(kāi)式的第$k$+1項(xiàng)$T_{k+1}=\mathrm{C}^k_na^{n-k}b^k(k\in{0,1,2,\cdots,n})$叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)。

注：（1）通項(xiàng)是二項(xiàng)展開(kāi)式的第$k$+1項(xiàng)，而不是第$k$項(xiàng)。

（2）字母$b$的指數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同，$a$與$b$的指數(shù)之和為$n$。

（3）展開(kāi)式中第$k$+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)$\mathrm{C}^k_n$與第$k$+1項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等。

（4）求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)***的項(xiàng)時(shí)，一般要根據(jù)通項(xiàng)公式對(duì)$k$進(jìn)行討論。

2、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即$\mathrm{C}^m_n=\mathrm{C}^{n-m}_n(n=0,1,2,\cdots,n)$。

（2）增減性與***值

增減性：當(dāng)$k<\frac{n+1}{2}$時(shí)，$\mathrm{C}^k_n$是逐漸增大的；當(dāng)$k>\frac{n+1}{2}$時(shí)，$\mathrm{C}^k_n$是逐漸減小的，且在中間取得***值。

***值：當(dāng)$n$是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)***，***值為$ \mathrm{C}^{\frac{n}{2}}n$；當(dāng)$n$是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)***，***值為$\mathrm{C}^{\frac{n-1}{2}}n$，$\mathrm{C}^{\frac{n+1}{2}}_n$。

3、二項(xiàng)式系數(shù)和

$(a+b)^n$的展開(kāi)式中，各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)和等于$2^n$，即$\mathrm{C}^0_n+\mathrm{C}^1_n+\mathrm{C}^2_n+\cdots+\mathrm{C}^n_n=2^n$。

二項(xiàng)展開(kāi)式中，各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即有$\mathrm{C}^1_n+\mathrm{C}^3_n+\mathrm{C}^5_n+\cdots=\mathrm{C}^0_n+\mathrm{C}^2_n+\mathrm{C}^4_n+\cdots$=$2^{n-1}$。

二、二項(xiàng)式系數(shù)的相關(guān)例題

二項(xiàng)式$(2-x)^6$的展開(kāi)式中含有$x^4$項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__

A．90 B．80 C．60 D．30

答案：C

解析：二項(xiàng)式$(2-x)^6$的展開(kāi)式中含有$x^4$項(xiàng)為$T_5=\mathrm{C}^4_62^2(-x)^4=60x^4$，系數(shù)為60，故選C。

文章標(biāo)題：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)式系數(shù)和

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