排序不等式的定義和應用技巧

一、排序不等式的定義和應用技巧

1、排序不等式

設$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$，$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n$為兩組實數(shù)，$c_1\leqslant c_2\leqslant \cdots\leqslant c_n$為$b_1\leqslant b_2\cdots\leqslant b_n$的任一排列，則$S=a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3+\cdots+a_nc_n$稱為數(shù)組$(a_1，a_2，\cdots，a_n)$和$(b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n)$的亂序和，其中按相反順序相乘所得積的和$S_1$=$a_1b_n$+$a_2b_{n-1}$+$a_3b_{n-2}$+$\cdots$+$a_nb_1$稱為反序和，按相同順序相乘所得積的和$S_2$=$a_1b_1$+$a_2b_2$+$a_3b_3$+$\cdots$+$a_nb_n$稱為順序和。

2、排序不等式定理

定理：（排序不等式，又稱排序原理）設$a_1≤a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$,$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n$為兩組實數(shù)，$c_1，c_2，\cdots，c_n$為$b_1，b_2，\cdots，b_n$的任一排列，則$a_1b_n+a_2b_{n-1}+a_3b_{n-2}+\cdots+a_nb_1$$\leqslant a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3+\cdots+a_nc_n$$\leqslant a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n$，當且僅當$a_1=a_2=\cdots=a_n$或$b_1=b_2=\cdots=b_n$時，反序和等于順序和。

排序不等式可簡記為：反序和$≤$亂序和$≤$順序和。

3、排序不等式的應用技巧

（1）使用排序不等式時，必須存在有大小順序的兩組數(shù)列（或代數(shù)式），從而探究對應項乘積和的大小關系。

（2）本質(zhì)：兩組數(shù)列順序同向單調(diào)（同增或同減）時，對應項乘積和***，反向單調(diào)（一增一減）時，對應項乘積和最小，當其中一組數(shù)列為常數(shù)數(shù)列時，對應項乘積和不變。

（3）排序原理的思想：在解答數(shù)學問題時，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預先規(guī)定大小順序，我們可以利用排序原理的思想方法，將它們按一定順序排列起來，繼而利用不等關系來解題。

二、排序不等式的相關例題

設$a，b，c$為正數(shù)，求$\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b}$的最小值為___

A．$\frac{3}{2}$

B．2

C．$\frac{5}{2}$

D．3

答案：A

解析：不妨設$a≥b≥c$, 于是$a+b≥c +a≥b+c$。又∵$a\geqslant b\geqslant c$，$\frac{1}{b+c}≥\frac{1}{c+a}≥\frac{1}{a+b}$，∴由排序不等式：順序和≥亂序和得$\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b}$$≥\frac{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$，$\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b}$$≥\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{a+b}$，兩式相加得$2\left( \frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b} \right)≥3$，∴$\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b}≥\frac{3}{2}$。當且僅當$a=b=c$時,等號成立。∴$\frac{a}{b+c}+\frac{c+a}+\frac{c}{a+b}$的最小值為$\frac{3}{2}$。

文章標題：排序不等式的定義和應用技巧

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