解直角三角形的定義和依據(jù)

一、解直角三角形的定義和依據(jù)

1、解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的依據(jù)

在直角三角形$ABC$中，$∠C$為直角，$∠A$，$∠B$，$∠C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，那么除直角$C$外的5個(gè)元素之間有如下關(guān)系：

（1）三邊之間的關(guān)系：$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）。

（2）兩銳角之間的關(guān)系：$∠A+∠B=90°$。

（3）邊角之間的關(guān)系

$\sin A=\displaystyle{}\frac{∠A的對邊}{斜邊}=\frac{a}{c}$，$\sin B=\displaystyle{}\frac{∠B的對邊}{斜邊}=\frac{c}$；

$\cos A=\displaystyle{}\frac{∠A的鄰邊}{斜邊}=\frac{c}$，$\cos B=\displaystyle{}\frac{∠B的鄰邊}{斜邊}=\frac{a}{c}$；

$\tan A=\displaystyle{}\frac{∠A的對邊}{∠A的鄰邊}=\frac{a}$，$\tan B=\displaystyle{}\frac{∠B的對邊}{∠B的鄰邊}=\frac{a}$。

（4）面積公式

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$（$h$為斜邊上的高）。

3、解直角三角形的類型與解法

在Rt$△ABC$中，$∠C=90°$，角$A$，$B$，$C$對應(yīng)的邊分別為$a$，$b$，$c$。

（1）已知兩直角邊（如$a$，$b$），則由$\tan A=\frac{a}$可求$∠A$，$∠B=90°-∠A$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

（2）已知斜邊和一直角邊（如$c$，$a$）則由$\sin A=\frac{a}{c}$可求$∠A$，$∠B=90°-∠A$，$b=\sqrt{c^2-a^2}$。

（3）已知一直角邊和一銳角（銳角，鄰邊如$∠A$和$b$），則$∠B=90°-∠A$，$a=b·\tan A$，$c=\frac{\cos A}$。（銳角，對邊如$∠A$和$a$），則$∠B=90°-∠A$，$b=\frac{a}{\tan A}$，$c=\frac{a}{\sin A}$。

（4）已知斜邊，銳角（如$c$，$∠A$），則$∠B=90°-∠A$，$a=c·\sin A$，$b=c·\cos A$。

4、解直角三角形應(yīng)用題中的常見概念

（1）仰角、俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，視線在水平線下方的叫做俯角。

（2）方位角

從指北方向線按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫做方位角。

（3）方向角

從南北方向線較近一端起到目標(biāo)方向線所夾的銳角叫做方向角，在找方向角時(shí)，要選準(zhǔn)原點(diǎn)，在說方向角時(shí)要先說“南或北”，后說“東或西”。

（4）坡度與坡角

坡面的垂直高度$h$和水平寬度$l$的比叫做坡度，又稱坡比，用$i$表示，$i=\tanα=\frac{h}{l}$，其中坡面與水平面的夾角$α$叫做坡角。

二、解直角三角形的相關(guān)例題

在下列情況下，可解的直角三角形是___

A．已知$b=3$，$∠C=90°$

B．已知$∠C=90°$，$∠B=46°$

C．已知$a=3$，$b=6$，$∠C=90°$

D．已知$∠B=15°$，$∠A=65°$

答案：C

解析：A項(xiàng)中，缺少$∠A$或$∠B$的值，故不能解直角三角形；B項(xiàng)中，知道角的關(guān)系，但是沒有邊的大小，故不能解直角三角形；C項(xiàng)中，利用勾股定理求出$c$的值，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求出$∠A$和$∠B$；D項(xiàng)中，$∠C=100°$，不是直角三角形。故選C。

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