三角形的定義和表示方法

一、三角形的定義和表示方法

1、三角形

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

在$△ABC$中，線段$AB$，$BC$，$CA$是三角形的邊。

點$A$，$B$，$C$是三角形的頂點，

$∠A$，$∠B$，$∠C$是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形的表示方法

三角形可以用符號“$△$”表示，頂點是$A$，$B$，$C$的三角形記作“$△ABC$”，讀作“三角形$ABC$”。

$△ABC$的三邊，有時也用$a$，$b$，$c$表示。一般情況下，頂點$A$所對的邊$BC$用$a$表示，頂點$B$所對的邊$AC$用$b$表示，頂點$C$所對的邊$AB$用$c$表示。

3、三角形的分類

（1）按邊的關(guān)系分類

$三角形\begin{cases}三邊都不相等的三角形\\等腰三角形\begin{cases}底邊和腰不相等的等腰三角形\\等邊三角形\end{cases}\end{cases}$

（2）按內(nèi)角分類

$三角形\begin{cases}直角三角形\\斜三角形\begin{cases}銳角三角形\\鈍角三角形\end{cases}\end{cases}$

4、三角形的高、中線與角平分線

（1）三角形的高

定義：從三角形的一個頂點向它所對的邊畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

幾何表達(dá)：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的邊$BC$上的高或$AD⊥BC$于$D$或$∠ADB=$$∠A DC=$$90°$。

注：① 三角形邊上的高是線段，而該邊的垂線是直線。

② 三角形的三條高交于一點，交點叫做三角形的垂心。

③ 銳角三角形的三條高在其內(nèi)部，三條高的交點在三角形內(nèi)部；直角三角形的兩條直角邊互為高，三條高的交點在直角頂點處；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，三條高的延長線的交點在三角形的外部。

（2）三角形的中線

定義：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做三角形的中線。

幾何表達(dá)：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的邊$BC$上的中線或$BD=$$DC=$$\frac{1}{2}BC$或$BC=$$2BD=$$2DC$或$D$為$BC$的中點。

注：① 三角形的中線是一條線段。

② 三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點，交點叫做三角形的重心。

③ 三角形的一條中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形。

④ $△ABC$的中線$AD$也可稱為“$BC$邊上的中線$AD$”。

（3）三角形的角平分線

定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

幾何表達(dá)：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的角平分線或$∠BAD=$$∠CAD=$$\frac{1}{2}∠BAC$。

注：① 三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線。

② 三角形的角平分線的畫法與角的平分線的畫法相同。

③ 三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，且交于一點，交點叫做三角形的內(nèi)心。

5、三角形的性質(zhì)

（1）三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊、三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形內(nèi)角和定理

三角形三個內(nèi)角的和等于180°，即在$△ABC$中，$∠A+$$∠B+$$∠C=180°$。

（3）三角形外角的性質(zhì)

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

（4）三角形外角和定理

三角形的外角和是360°。

6、直角三角形的性質(zhì)與判定

（1）性質(zhì)

① 直角三角形的兩個銳角互余。

② 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③ 在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

（2）判定

①有一個角為90°的三角形是直角三角形。

②若$a^2+b^2=c^2$，則以$a$、$b$、$c$為邊的三角形是以$c$為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

③若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，則這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。

④兩個銳角互為余角（兩角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

⑤若兩直線相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù)，則兩直線互相垂直。那么這兩條直線組成的三角形為直角三角形。

⑥若在一個三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。

⑦一個三角形30°角所對的邊等于某一鄰邊的一半，則這個三角形為直角三角形。

7、三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三條邊確定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個特征，叫做三角形的穩(wěn)定性。

注：①要判斷圖形是否具有穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于它的結(jié)構(gòu)是不是三角形結(jié)構(gòu)。

②除三角形外，其他圖形都不具備穩(wěn)定性，因此在生產(chǎn)建設(shè)中，三角形的應(yīng)用非常廣泛。如：橋梁、起重機、人字型屋頂?shù)取?/p>

二、三角形的相關(guān)例題

不一定在三角形內(nèi)部的線段是___

A．三角形的角平分線

B．三角形的中線

C．三角形的高

D．三角形的中位線

答案：C

解析：因為在三角形中，它的中線、角平分線、中位線一定在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部。故選C。

文章標(biāo)題：三角形的定義和表示方法

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