薛定諤方程是怎么被“猜”出來的？《張朝陽的物理課》討論量子力學(xué)核心理論

原標(biāo)題:薛定諤方程是如何“猜到”的？張朝陽的物理課討論量子力學(xué)的核心理論。

問任何一個物理愛好者，什么是量子力學(xué)？他們大概會提到“薛定諤的貓”。下一步是什么？可能是薛定諤方程。但是這個方程到底是什么，為什么它如此重要，以至于任何量子物理學(xué)家都會記住它？1月7日，在第18期張朝陽的《物理課》中，搜狐創(chuàng)始人、董事長兼CEO張朝陽在直播間再現(xiàn)了薛定諤方程的奇妙發(fā)現(xiàn)過程，初步揭示了量子力學(xué)的核心理論。

回顧經(jīng)典物理波動方程和德布羅意物質(zhì)波動公式

在直播間，張朝陽帶領(lǐng)大家簡單回顧了前兩節(jié)課的要點，重點講解了經(jīng)典力學(xué)中描述質(zhì)點和波浪的方式。在經(jīng)典物理中，力的作用導(dǎo)致粒子運動狀態(tài)的改變，可以用牛頓第二定律來描述。粒子的運動狀態(tài)用位置和速度來表征，力會改變粒子的速度，從而改變其能量。在量子力學(xué)中，粒子由波函數(shù)描述。在這里，張朝陽首先向網(wǎng)友介紹了經(jīng)典力學(xué)中波的描述。以一維波為例。在經(jīng)典力學(xué)中，波由相應(yīng)的波動方程描述:

上述方程的解具有以下形式:

它顯示了左右傳播的波的疊加。以平面波為例，描述平面波的兩個主要參數(shù)是圓頻率ω=2πf和波數(shù)k=2π/λ。其中λ是波長，f是頻率。

(張朝陽介紹平面波)

它們將在下面介紹的薛定諤方程中使用。

如何猜測薛定諤方程？推導(dǎo)和比較是關(guān)鍵。

“我們試圖猜測，薛定諤是如何想到這個方程的？看到德布羅意的論文后，他意識到電子應(yīng)該用波來描述，于是他轉(zhuǎn)移了電磁波的想法，猜到了方程，***是對的。”張朝陽像講故事一樣引出今天的主題。

德布羅意提出物質(zhì)波時，只給出了波長與動量的關(guān)系，并沒有推導(dǎo)出物質(zhì)波是如何演化的。那么，薛定諤是如何猜到這個方程的呢？直播中，張朝陽做了詳細(xì)生動的介紹。

他在白板上寫下了光電場分量的平面波形:

他解釋說:“結(jié)合德布羅意公式，指數(shù)部分可以改寫為:

這是薛定諤猜想的物質(zhì)波的平面波形式。為了簡單起見，張朝陽首先考慮了一維自由粒子的情況。它的能量和動量滿足以下關(guān)系:

量子力學(xué)下還滿意嗎？薛定諤對此做了一個勇敢的假設(shè)，認(rèn)為這種關(guān)系在非相對論量子力學(xué)的框架內(nèi)仍然成立。這種關(guān)系如何在波函數(shù)中體現(xiàn)出來？這需要“取出”物質(zhì)平面波中的動量和能量。

至此，張朝陽開始介紹導(dǎo)出動量和能量的方法。在平面波的公式中，動量和能量都是以指數(shù)形式出現(xiàn)的，但是只要我們?nèi)∥恢脁和時間預(yù)測（數(shù)據(jù)為往年僅供參考）t的偏導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)的動量和能量不就下來了嗎？然后，張朝陽展示了以下推導(dǎo):

我們一起得到關(guān)于這個平面波函數(shù)的方程。張朝陽強調(diào)，這個方程是線性偏微分方程。因此，其解的線性組合仍然是原方程的解，在形式上也符合量子力學(xué)的疊加原理。既然這個方程對于平面波成立，普通波可以看作平面波的組合，那么對于普通自由物質(zhì)波也成立。這給出了一維自由粒子的波動方程:

這時，張朝陽順勢介紹說，當(dāng)有外部勢場時，能量不僅會包含粒子的動能，還會包含勢能:

U(x，t)是一個勢能函數(shù)。結(jié)合前面的推導(dǎo)，得到了***的一維薛定諤方程:

(張朝陽在直播中介紹了薛定諤方程的形式)

統(tǒng)計解釋和波包速度:波函數(shù)的物理意義

然而，即使薛定諤猜到了波動方程，他也不知道這個波的物理意義是什么。張朝陽由此引入了量子力學(xué)的哥本哈根解釋，即所謂的統(tǒng)計解釋。

張朝陽介紹，“波函數(shù)的模量代表粒子出現(xiàn)在相應(yīng)位置的概率密度。根據(jù)這個概率密度，我們只需要對一個特定的區(qū)域進行積分，就可以得到在這個區(qū)域找到粒子的概率。當(dāng)我們得到粒子的波函數(shù)時，我們不知道粒子在哪里。我們得到的信息只是測量后粒子出現(xiàn)在每個位置的概率?！彼M一步引入了波函數(shù)歸一化的概念。具體來說，因為在整個空區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1，所以在整個空區(qū)間內(nèi)波函數(shù)的模的積分等于1。

此外，張朝陽還提到了矩陣力學(xué)與波動力學(xué)的關(guān)系。他說:“它們就像高山上的兩條小路”。換句話說，矩陣力學(xué)和波動力學(xué)是描述量子力學(xué)的正確方法，兩者是等價的。

張朝陽再次論證了在量子力學(xué)中，粒子的速度不再等于ω/k，而應(yīng)該等于對應(yīng)波的群速度dω/dk。根據(jù)張朝陽的計算，ω/k實際上等于v/2，是質(zhì)點速度的一半。如果用群速度dω/dk計算，則得到正確的速度V。他解釋說，這是因為粒子在實際觀測中是以波包的形式存在的，群速度描述的是整個波包的運動速度，所以正好對應(yīng)粒子的速度。ω/k是等相點的運動速度，不代表粒子的運動速度。

(張朝陽介紹波包群速度)

搜狐視頻力知識直播知識玩法科普

從11月5日開始，張朝陽的《物理課》18期直播。比較好課和第二課，張朝陽通過科普學(xué)習(xí)了“力”和“速度”，計算了馬斯克飛船與***空站之間每天繞地球飛行的次數(shù)；第三、四課是與“振動”相關(guān)的，科普可見光的基礎(chǔ)知識；第五課和第六課引發(fā)了關(guān)于聲速和溫度的大討論。重溫第七課、第八課、第九課經(jīng)典力學(xué)的兩朵烏云。

在第十課和第十一課，他重點復(fù)習(xí)了黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第12、13、14課嘗試進入愛因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出***的公式“E = MC”，演示時鐘的慢刻度效應(yīng)；第十五課解釋原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變。第16課旨在討論光的波粒二象性并探索量子力學(xué)。第17課重點介紹康普頓散射和海森堡測不準(zhǔn)原理；第十八課揭示薛定諤方程和波函數(shù)。

從這十節(jié)物理課可以看出，張朝陽物理課的直播風(fēng)格是***的——通過觀察日常生活現(xiàn)象，利用網(wǎng)友最熟悉的話題來提升興趣，然后通過公式推導(dǎo)來解釋其背后的物理原理，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，再依次解決生活中類似的問題。

張朝陽認(rèn)為研究自然特別有趣。他希望物理課的觀眾能夠保持好奇心，“在好奇心的驅(qū)使下，我們能夠了解大自然的奧秘以及我們生活在這個世界上的原因”。在后續(xù)的課程中，他將繼續(xù)以這種直播的方式講解生活中常見的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠理解，專業(yè)人士能夠認(rèn)識，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。課程每周五、周日12點在搜狐視頻直播。

除了“張朝陽物理課”，搜狐視頻還邀請多位通識教育播報員傳播科普知識和價值。北京交通大學(xué)理學(xué)院教師陳正博士玩了一個“好奇的科學(xué)實驗”，走進了“光的波粒二象性”。美國康乃爾大學(xué)物理化學(xué)博士，化身“寶大人玩科學(xué)”，教普通人理解往年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉伯陽的科普《日全食是如何產(chǎn)生的》等。未來會有更多的知識播報員入駐，一起玩科學(xué)。回搜狐多看看。

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