薛定諤方程是怎么被“猜”出來(lái)的？《張朝陽(yáng)的物理課》討論量子力學(xué)核心理論

原標(biāo)題:薛定諤方程是如何“猜到”的？張朝陽(yáng)的物理課討論量子力學(xué)的核心理論。

問(wèn)任何一個(gè)物理愛(ài)好者，什么是量子力學(xué)？他們大概會(huì)提到“薛定諤的貓”。下一步是什么？可能是薛定諤方程。但是這個(gè)方程到底是什么，為什么它如此重要，以至于任何量子物理學(xué)家都會(huì)記住它？1月7日，在第18期張朝陽(yáng)的《物理課》中，搜狐創(chuàng)始人、董事長(zhǎng)兼CEO張朝陽(yáng)在直播間再現(xiàn)了薛定諤方程的奇妙發(fā)現(xiàn)過(guò)程，初步揭示了量子力學(xué)的核心理論。

回顧經(jīng)典物理波動(dòng)方程和德布羅意物質(zhì)波動(dòng)公式

在直播間，張朝陽(yáng)帶領(lǐng)大家簡(jiǎn)單回顧了前兩節(jié)課的要點(diǎn)，重點(diǎn)講解了經(jīng)典力學(xué)中描述質(zhì)點(diǎn)和波浪的方式。在經(jīng)典物理中，力的作用導(dǎo)致粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，可以用牛頓第二定律來(lái)描述。粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用位置和速度來(lái)表征，力會(huì)改變粒子的速度，從而改變其能量。在量子力學(xué)中，粒子由波函數(shù)描述。在這里，張朝陽(yáng)首先向網(wǎng)友介紹了經(jīng)典力學(xué)中波的描述。以一維波為例。在經(jīng)典力學(xué)中，波由相應(yīng)的波動(dòng)方程描述:

上述方程的解具有以下形式:

它顯示了左右傳播的波的疊加。以平面波為例，描述平面波的兩個(gè)主要參數(shù)是圓頻率ω=2πf和波數(shù)k=2π/λ。其中λ是波長(zhǎng)，f是頻率。

(張朝陽(yáng)介紹平面波)

張朝陽(yáng)帶著網(wǎng)友們回顧了德布羅意波的一些關(guān)系式:

它們將在下面介紹的薛定諤方程中使用。

如何猜測(cè)薛定諤方程？推導(dǎo)和比較是關(guān)鍵。

“我們?cè)噲D猜測(cè)，薛定諤是如何想到這個(gè)方程的？看到德布羅意的論文后，他意識(shí)到電子應(yīng)該用波來(lái)描述，于是他轉(zhuǎn)移了電磁波的想法，猜到了方程，最后是對(duì)的?！睆埑?yáng)像講故事一樣引出今天的主題。

德布羅意提出物質(zhì)波時(shí)，只給出了波長(zhǎng)與動(dòng)量的關(guān)系，并沒(méi)有推導(dǎo)出物質(zhì)波是如何演化的。那么，薛定諤是如何猜到這個(gè)方程的呢？直播中，張朝陽(yáng)做了詳細(xì)生動(dòng)的介紹。

他在白板上寫下了光電場(chǎng)分量的平面波形:

他解釋說(shuō):“結(jié)合德布羅意公式，指數(shù)部分可以改寫為:

這是薛定諤猜想的物質(zhì)波的平面波形式。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，張朝陽(yáng)首先考慮了一維自由粒子的情況。它的能量和動(dòng)量滿足以下關(guān)系:

量子力學(xué)下還滿意嗎？薛定諤對(duì)此做了一個(gè)勇敢的假設(shè)，認(rèn)為這種關(guān)系在非相對(duì)論量子力學(xué)的框架內(nèi)仍然成立。這種關(guān)系如何在波函數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)？這需要“取出”物質(zhì)平面波中的動(dòng)量和能量。

至此，張朝陽(yáng)開始介紹導(dǎo)出動(dòng)量和能量的方法。在平面波的公式中，動(dòng)量和能量都是以指數(shù)形式出現(xiàn)的，但是只要我們?nèi)∥恢脁和時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的動(dòng)量和能量不就下來(lái)了嗎？然后，張朝陽(yáng)展示了以下推導(dǎo):

我們一起得到關(guān)于這個(gè)平面波函數(shù)的方程。張朝陽(yáng)強(qiáng)調(diào)，這個(gè)方程是線性偏微分方程。因此，其解的線性組合仍然是原方程的解，在形式上也符合量子力學(xué)的疊加原理。既然這個(gè)方程對(duì)于平面波成立，普通波可以看作平面波的組合，那么對(duì)于普通自由物質(zhì)波也成立。這給出了一維自由粒子的波動(dòng)方程:

這時(shí)，張朝陽(yáng)順勢(shì)介紹說(shuō)，當(dāng)有外部勢(shì)場(chǎng)時(shí)，能量不僅會(huì)包含粒子的動(dòng)能，還會(huì)包含勢(shì)能:

U(x，t)是一個(gè)勢(shì)能函數(shù)。結(jié)合前面的推導(dǎo)，得到了著名的一維薛定諤方程:

(張朝陽(yáng)在直播中介紹了薛定諤方程的形式)

張朝陽(yáng)介紹，薛定諤方程不是推導(dǎo)出來(lái)的，而是猜到的。它是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程，具有公設(shè)性質(zhì)。只有根據(jù)薛定諤方程計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致時(shí)，我們才能說(shuō)這個(gè)理論是正確的。他還解釋說(shuō)，薛定諤方程的左邊是時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，右邊是空的二階導(dǎo)數(shù)，這一點(diǎn)非常重要?？紤]到I因子的存在，波函數(shù)不是電磁場(chǎng)那樣的實(shí)函數(shù)，而是復(fù)函數(shù)。

統(tǒng)計(jì)解釋和波包速度:波函數(shù)的物理意義

然而，即使薛定諤猜到了波動(dòng)方程，他也不知道這個(gè)波的物理意義是什么。張朝陽(yáng)由此引入了量子力學(xué)的哥本哈根解釋，即所謂的統(tǒng)計(jì)解釋。

張朝陽(yáng)介紹，“波函數(shù)的模量代表粒子出現(xiàn)在相應(yīng)位置的概率密度。根據(jù)這個(gè)概率密度，我們只需要對(duì)一個(gè)特定的區(qū)域進(jìn)行積分，就可以得到在這個(gè)區(qū)域找到粒子的概率。當(dāng)我們得到粒子的波函數(shù)時(shí)，我們不知道粒子在哪里。我們得到的信息只是測(cè)量后粒子出現(xiàn)在每個(gè)位置的概率。”他進(jìn)一步引入了波函數(shù)歸一化的概念。具體來(lái)說(shuō)，因?yàn)樵谡麄€(gè)空區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1，所以在整個(gè)空區(qū)間內(nèi)波函數(shù)的模的積分等于1。

此外，張朝陽(yáng)還提到了矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)的關(guān)系。他說(shuō):“它們就像高山上的兩條小路”。換句話說(shuō)，矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)是描述量子力學(xué)的正確方法，兩者是等價(jià)的。

張朝陽(yáng)再次論證了在量子力學(xué)中，粒子的速度不再等于ω/k，而應(yīng)該等于對(duì)應(yīng)波的群速度dω/dk。根據(jù)張朝陽(yáng)的計(jì)算，ω/k實(shí)際上等于v/2，是質(zhì)點(diǎn)速度的一半。如果用群速度dω/dk計(jì)算，則得到正確的速度V。他解釋說(shuō)，這是因?yàn)榱Ｗ釉趯?shí)際觀測(cè)中是以波包的形式存在的，群速度描述的是整個(gè)波包的運(yùn)動(dòng)速度，所以正好對(duì)應(yīng)粒子的速度。ω/k是等相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，不代表粒子的運(yùn)動(dòng)速度。

(張朝陽(yáng)介紹波包群速度)

“今天我們了解了薛定諤是如何猜到薛定諤方程的，也知道了描述具有波粒二象性的微觀粒子的波函數(shù)。后來(lái)只要解了這個(gè)方程，就可以為它計(jì)算出世間萬(wàn)物。”直播結(jié)束時(shí)，他回憶了這節(jié)課的主要內(nèi)容，說(shuō)。同時(shí)，他鼓勵(lì)網(wǎng)友說(shuō)量子力學(xué)很難理解。“會(huì)有很多講座?！睋?jù)了解，在接下來(lái)的講座中，他將開始求解薛定諤方程來(lái)解釋氫的光譜，找到一些波函數(shù)的確定解以及薛定諤方程的各種應(yīng)用。

搜狐視頻力知識(shí)直播知識(shí)玩法科普

從11月5日開始，張朝陽(yáng)的《物理課》18期直播。第一課和第二課，張朝陽(yáng)通過(guò)科普學(xué)習(xí)了“力”和“速度”，計(jì)算了馬斯克飛船與中國(guó)空站之間每天繞地球飛行的次數(shù)；第三、四課是與“振動(dòng)”相關(guān)的，科普可見(jiàn)光的基礎(chǔ)知識(shí)；第五課和第六課引發(fā)了關(guān)于聲速和溫度的大討論。重溫第七課、第八課、第九課經(jīng)典力學(xué)的兩朵烏云。

在第十課和第十一課，他重點(diǎn)復(fù)習(xí)了黑體輻射曲線及其應(yīng)用；第12、13、14課嘗試進(jìn)入愛(ài)因斯坦的思想世界，推導(dǎo)出著名的公式“E = MC”，演示時(shí)鐘的慢刻度效應(yīng)；第十五課解釋原子的結(jié)構(gòu)和原子核的衰變。第16課旨在討論光的波粒二象性并探索量子力學(xué)。第17課重點(diǎn)介紹康普頓散射和海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理；第十八課揭示薛定諤方程和波函數(shù)。

從這十節(jié)物理課可以看出，張朝陽(yáng)物理課的直播風(fēng)格是獨(dú)一無(wú)二的——通過(guò)觀察日常生活現(xiàn)象，利用網(wǎng)友最熟悉的話題來(lái)提升興趣，然后通過(guò)公式推導(dǎo)來(lái)解釋其背后的物理原理，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”，再依次解決生活中類似的問(wèn)題。

張朝陽(yáng)認(rèn)為研究自然特別有趣。他希望物理課的觀眾能夠保持好奇心，“在好奇心的驅(qū)使下，我們能夠了解大自然的奧秘以及我們生活在這個(gè)世界上的原因”。在后續(xù)的課程中，他將繼續(xù)以這種直播的方式講解生活中常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，讓普通人能夠理解，專業(yè)人士能夠認(rèn)識(shí)，激發(fā)科學(xué)學(xué)習(xí)的熱潮。課程每周五、周日12點(diǎn)在搜狐視頻直播。

除了“張朝陽(yáng)物理課”，搜狐視頻還邀請(qǐng)多位通識(shí)教育播報(bào)員傳播科普知識(shí)和價(jià)值。北京交通大學(xué)理學(xué)院教師陳正博士玩了一個(gè)“好奇的科學(xué)實(shí)驗(yàn)”，走進(jìn)了“光的波粒二象性”。美國(guó)康乃爾大學(xué)物理化學(xué)博士，化身“寶大人玩科學(xué)”，教普通人理解2021年諾貝爾獎(jiǎng)；還有天體物理博士劉伯陽(yáng)的科普《日全食是如何產(chǎn)生的》等。未來(lái)會(huì)有更多的知識(shí)播報(bào)員入駐，一起玩科學(xué)?；厮押嗫纯?。

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