直線的參數(shù)方程的概念以及和普通方程的互化

一、直線的參數(shù)方程的概念以及和普通方程的互化

1、參數(shù)方程的概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)$x$，$y$都是某個(gè)變數(shù)$t$的函數(shù)$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}$并且對(duì)于$t$的每一個(gè)允許值，由該方程組所確定的點(diǎn)$M(x,y)$都在這條曲線上，那么該方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)$x$，$y$的變數(shù)$t$叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)$x$，$y$的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù)。

2、參數(shù)方程和普通方程的互化

曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)$x$，$y$中的一個(gè)與參數(shù)$t$的關(guān)系，例如$x=f(t)$，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系$y=g(t)$，那么$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}$就是曲線的參數(shù)方程。

將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線的類(lèi)型。

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使$x$，$y$的取值范圍保持一致。

3、直線的參數(shù)方程

（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$M_0(x_0,y_0)$，傾斜角為$α$的直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=x_0+t\cosα,\\y=y_0+t\sinα。\end{cases}$

$M(x,y)$是直線$l$上與參數(shù)值$t$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

（2）直線參數(shù)方程中參數(shù)$t$的幾何意義：參數(shù)$t$的***值為直線$l$上的動(dòng)點(diǎn)$M$到定點(diǎn)$M_0$的距離。

二、直線的參數(shù)方程的相關(guān)例題

參數(shù)方程$\begin{cases}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t,\\y=-2+\frac{1}{2}t\end{cases}$（$t$是參數(shù)）與參數(shù)方程$\begin{cases}x=5+\sqrt{3}t,\\y=-2+t\end{cases}$（$t$是參數(shù)）表示的曲線是___

A．兩條相交直線

B．兩條平行直線

C．同一條直線

D．拋物線

答案：C

解析：參數(shù)方程$\begin{cases}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t,\\y=-2+\frac{1}{2}t\end{cases}$（$t$是參數(shù)）消去參數(shù)得$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-5=0$，

參數(shù)方程$\begin{cases}x=5+\sqrt{3}t,\\y=-2+t\end{cases}$（$t$是參數(shù)）消去參數(shù)得$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-5=0$ ，

∴這兩個(gè)參數(shù)方程表示同一條直線。

文章標(biāo)題：直線的參數(shù)方程的概念以及和普通方程的互化

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